אפשר גם אחרת - מדריך למורה כיתה ז חלק א - צפיית אורח

_____________________________________________________________________________________________________  אפשר גם אחרת - האוניברסיטה העברית והטכניון ספטמבר 2102 3 המשתנה וביטויים אלגבריים מבוא במושג "מציאת חוקיות" כוונתנו למציאת המשותף לאוסף של עצמים כגון: אוסף של מספרים, אוסף של צורות, אוסף של ציורים, ועוד. מציאת המשותף – – החוקיות מאפשרת להוסיף עצמים לאוסף על ידי יצירתם או על ידי בחירתם מתוך עצמים נתונים. הפעילויות בספר עוסקות בהכללות מסוגי : ם שונים 0. מציאת חוקיות באוספים מסודרים: סדרות של מבנים / ציורים, סדרות של מספרים, סדרות של ביטויים חשבוניים, סדרות של שוויונות ; 2. מציאת חוקיות באוספים לא מסודרים; 3. מציאת קשר בין זוגות של מספרים (קשר הניתן לתיאור במילים וב ביטוי אלגברי); 4. תרגום ביטוי מילולי לביטוי אלגברי. חלק מ הפעילויות והתרגילים העוסקים דפוסים ת בהכלל נשע על נים ( תרשים לדגמה, פעילויות 0 ,2 ,6, עמודים 3 ,4 ,6 .) חלק מהפעילויות והתרגילים עוסקים בהמשכת סדרות של מספרים ( לדוגמה, פעילות 3 , עמוד 4 ) וחלק מהפעילויות והתרגילים עוסקים בסדרות של תרגילים ( לדוגמה, פעילות 4 , עמוד 5 .) בב בס הראשון של ההכללות (עמודים 0 – 01 ,) אין רישום בטבלאות, הטבלאות מתווספות בהמשך. חשיפה לטבלאות מיד בשלב הראשון ללימוד גורמת לחלק מהתלמידים להשתמש רק בטבלאות המספריות ולא בתרשימים , ש בעוד בעזרת התרשימים נית ן לעיתים למצוא חוקיות מתמטית ביתר קלות וניתן להגיע להכללות , מגוונות במיוחד בשלבים בהם ההכללה הרקורסיבית היא ההכללה הדומיננטית. ההצגה המיידית באמצעות טבלה הופכת את ה ל טבלה מכשיר המתווך המרכזי והדומיננטי בדרך להכללה. ( כמובן שבמידה והתלמידים יוזמים בעצמם סידור הנתונים בטבלה אין למנוע זאת ). מהם ה , ככלל פעילויות בשלב זה בנויות על הכללה ליניארית . ישנה סדרה של פעילויות (המיועדת לתלמידים היותר חזקים) השייכת למשפחת הפונקציה הריבועית. למשל, ב פעילות 5 עמוד 5 , סידור פחיות השימורים ההכללה הפונקציונאלית היא הכללה ריבועית , אבל . יש להניח שהתלמידים ינקטו בדרך של הכללה רקורסיבית ולכן בשלב זה ההבדל בהכללה בין קבוצת הפעילויות הליניאריות לבין קבוצת הפעילויות הריב ו עיות איננו כה גדול כפי שניתן אולי לחשוב. יש להיות מודעים לעובדה שבהכללות של סדרת מבנים (ציורים) או בהכללות של טבלאות של מספרים הנטייה הספונטנית של התלמידים היא להסתכל על הנתונים בהסתכלות רקורסיבית . בהסתכלות רקורסיבית אנו מקשרים בין האיבר -ה n - בסדרה a n , לאיבר הקודם לו - a n-1 . כמו למשל, כדי למצוא את המבנה הבא, בפעילות 6 (עמוד 6 ) יש להוסיף 3 גפרורים ל מבנה הקודם לו , ו לא להסתכלות "לפי מקום" המקשרת בין n -ל a(n) כמו , למשל, במבנה 25 יש 3 כפול 25 גפרורים . המעבר מהכללה רקורסיבית להכללה פונקציונאלית אינו ספונטני. למרבית התלמידים דרושה התערבות ישירה של המורה. התערבות זו מתחילה בפרק "המשתנה וביטויים אלגבריים ", החל מעמוד 21. ההסתכלות הדואלית , הן הרקורסיבית והן הפונקציונאלית לפי מקום, וראייתן כשתי אלטרנטיבות להכללה היא נושא שמטופל ישירות בשלב הרבה יותר מאוחר . ראייה דואלית זו בונה את התשתית למושג הפונקציה. טעות נפוצה בהכללה היא הטעות הנקראת ה"טעות הכפלית" . למשל, אם במבנה 7 יש 01 גפרורים, יש תלמידים במבנה ש שיטענו 04 יהיו 21 גפרורים (אם מספר המבנה גדול פי 2 , אזי מספר הגפרורים גדול פי 2 .) , כלומר אם n 2 = k  n 1 אז: , a(n 2 ) = k·a(n) . הכללה זו נכונה במקרה של ההכללות מהצורה a  n , אך לא נכונה בהכללות כגון : a·n+b , הכללות ריבועיות, או הכללות מסדר גבוה יותר.